桃園靜遠軒北書齋

現在的人習慣用信用卡消費並延遲付款

畢竟以鬼島目前的薪資水準很多東西就是無法一次買下

假設你現在想要刷卡買一隻哀鳳，價格是 20000 元

你看了一下信用卡利率是 9.9%，於是你算了一下

到年底應該要償還 20000 x 1.099 = 21980 元

但最後你收到的帳單卻要你繳 22072 元，為什麼？

因為你心中想的是單利年利率，但銀行用的是有效年利率（EAR），也就是計算複利

如上面的情況，正確的算法應該是

20000 x （9.9% / 12  + 1）^ 12 = 22072 元

將年利率換算為月利率後複利 12 個月作計算，因為卡費是月結的

其中 （9.9% / 12  + 1）^ 12 就是有效年利率，為 10.36%

換句話說，9.9% 以每月複利計算，等同於 10.36% 一次性單利年利率

先前我們有提到過的 持有期間收益（HPR） 可以跟 EAR 進行換算

概念是一樣的，HPR 屬於未考慮複利的利率，因此只要讓它加計複利就行

公式如下

其中 t 表示 HPR 的持有期間，365/t 則為一年中需要複利的次數

在先前的單元  持有期間收益（HPR） 我們提到兩個 HPR 因為持有期間不同不能直接比較

如果你還沒了解 HPR ，可以先去了解看看，我們引用該例子並調整

A 公司 2016 年 1 月股價 100 元，6月時配息 5 元，年底 12 月股價 102 元

B 公司 2016 年 1 月股價 90 元，6月時配息 5 元，2017 年 1 月股價 92 元

C 公司 2016 年 1 月股價 100 元，6月時配息 4.5 元，2016 年 10 月股價 102 元

A 公司的 HPR 為 （102 + 5 - 100）/ 100 = 7%

B 公司的 HPR 為 （92 + 5 - 90）/ 90 = 7.78%

C 公司的 HPR 為 （102 + 4.5 - 100）/ 100 = 6.5%

我們在這裡將其轉換為 EAR 就可以進行比較

持有 A 公司股票的 EAR 為 (1+7%)^(365/365) -1 = 7% 

持有 B 公司股票的 EAR 為 (1+7.78%)^(365/396) -1 = 7.15%

持有 C 公司股票的 EAR 為 (1+6.5%)^(365/396) -1 = 7.85%

合理，由於 A 公司正好持有一年，因此 EAR 與 HPR 相等

而 B 公司持有期間超過一年，故 HPR 換算為 EAR 時數值下降

C 公司持有期間少於一年，故 HPR 換算為 EAR 時數值上升

結論是，這個例子中我們可以說 C 公司的報酬率最高

從上面我們可以觀察到，複利次數越多，EAR 越高

也就是在相同的名目年利率下，計息頻率越高，EAR 越高

每日計息的 EAR 會比每月計息的高，每秒計息又比 ... （誰那麼變態每秒計息！）

因此最後再補充一個知道很好，不知道也還可以的小知識

當計息期間極小化時，EAR 將會有一個極限值，不會無窮大

這個數值被稱作連續複利（Continuous compounding）

公式為

e = 2.718

例如剛才的信用卡費循環利率 9.9% 在每月計息的情況下 EAR 是 10.36%

若計息期間縮小至極限，則其 EAR 為 2.718^0.099 -1 = 10.41%

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