現在的人習慣用信用卡消費並延遲付款
畢竟以鬼島目前的薪資水準很多東西就是無法一次買下
假設你現在想要刷卡買一隻哀鳳,價格是 20000 元
你看了一下信用卡利率是 9.9%,於是你算了一下
到年底應該要償還 20000 x 1.099 = 21980 元
但最後你收到的帳單卻要你繳 22072 元,為什麼?
因為你心中想的是單利年利率,但銀行用的是有效年利率(EAR),也就是計算複利
如上面的情況,正確的算法應該是
20000 x (9.9% / 12 + 1)^ 12 = 22072 元
將年利率換算為月利率後複利 12 個月作計算,因為卡費是月結的
其中 (9.9% / 12 + 1)^ 12 就是有效年利率,為 10.36%
換句話說,9.9% 以每月複利計算,等同於 10.36% 一次性單利年利率
先前我們有提到過的 持有期間收益(HPR) 可以跟 EAR 進行換算
概念是一樣的,HPR 屬於未考慮複利的利率,因此只要讓它加計複利就行
公式如下
其中 t 表示 HPR 的持有期間,365/t 則為一年中需要複利的次數
在先前的單元 持有期間收益(HPR) 我們提到兩個 HPR 因為持有期間不同不能直接比較
如果你還沒了解 HPR ,可以先去了解看看,我們引用該例子並調整
A 公司 2016 年 1 月股價 100 元,6月時配息 5 元,年底 12 月股價 102 元
B 公司 2016 年 1 月股價 90 元,6月時配息 5 元,2017 年 1 月股價 92 元
C 公司 2016 年 1 月股價 100 元,6月時配息 4.5 元,2016 年 10 月股價 102 元
A 公司的 HPR 為 (102 + 5 - 100)/ 100 = 7%
B 公司的 HPR 為 (92 + 5 - 90)/ 90 = 7.78%
C 公司的 HPR 為 (102 + 4.5 - 100)/ 100 = 6.5%
我們在這裡將其轉換為 EAR 就可以進行比較
持有 A 公司股票的 EAR 為 (1+7%)^(365/365) -1 = 7%
持有 B 公司股票的 EAR 為 (1+7.78%)^(365/396) -1 = 7.15%
持有 C 公司股票的 EAR 為 (1+6.5%)^(365/396) -1 = 7.85%
合理,由於 A 公司正好持有一年,因此 EAR 與 HPR 相等
而 B 公司持有期間超過一年,故 HPR 換算為 EAR 時數值下降
C 公司持有期間少於一年,故 HPR 換算為 EAR 時數值上升
結論是,這個例子中我們可以說 C 公司的報酬率最高
從上面我們可以觀察到,複利次數越多,EAR 越高
也就是在相同的名目年利率下,計息頻率越高,EAR 越高
每日計息的 EAR 會比每月計息的高,每秒計息又比 ... (誰那麼變態每秒計息!)
因此最後再補充一個知道很好,不知道也還可以的小知識
當計息期間極小化時,EAR 將會有一個極限值,不會無窮大
這個數值被稱作連續複利(Continuous compounding)
公式為
e = 2.718
例如剛才的信用卡費循環利率 9.9% 在每月計息的情況下 EAR 是 10.36%
若計息期間縮小至極限,則其 EAR 為 2.718^0.099 -1 = 10.41%
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